完备性Complete：利用该算法，在有限时间内能解决所有有解问题；
最优性Optimality：利用该算法，能找到最优路径（路径最短、能量最少等）；
1、从游戏说起(2D)
运动规划算法的应用领域非常广，除了机器人外，另一个很大的应用领域就是电子游戏了。
△红警2：尤里的复仇，游戏截图
在玩像红警（暴露年龄系列）这类的即时战略游戏时，我们往往只需为游戏单位指定一个目标点，游戏中的人物就能够绕过障碍物自动走到目标点。
要想实现这一功能，这里面就需要应用到运动规划算法。为了简单，我们先假设我们要规划的机器人/游戏人物在地图上只是一个点，尺寸为0。
WalkTo算法
最简单的“算法”应当数WalkTo算法了，顾名思义，就是让机器人直接从当前位置朝目标点走，直到到达目标点为止。
△WalkTo算法示意
一些RPG游戏（如同样暴露年龄的传奇）就采用了这种简单的算法，用户通过鼠标点击给定人物前进方向。
△热血传奇游戏截图
显然，这个算法找到的路径是最短的（最优性），但无法应对路径上有障碍物的问题（不完备），全凭玩家操作避开障碍物。
Bug算法
Bug算法就是为了应对一些简单的障碍物而提出的，其说明如下：
沿着起始点与终点的连线M运动；
遇到障碍物，则绕着障碍物顺（或逆）时针运动，直到回到连线M。
△Bug算法示意
显然，这个算法就是传说中的二维迷宫通用解法。所以这个算法在二维空间内是完备的，但其路径不能保证最优。
蚁群算法
蚁群算法（AntColonyOptimization）其实是一种优化算法，但完全可以直接用到路径规划问题上。这种算法能够得到既完备又最优的路径，但由于收敛速度不快，并未得到太广泛应用。
△蚁群算法示意图，出处如图
人工势场法
势场对应着能量分布，最常见的势场就是重力场了，我们在不同高度会拥有不同重力势能。斜面上的球会自然沿着斜面往下滚。
受此现象的启发，人们便想到人工势场法，人工添加势场函数，让目标点处于谷底，距离目标点越远的势场越高，同时，为了避免发生碰撞，可以在障碍物四周添加排斥势场（障碍物处势能最大）。
△人工势场示意图，出处Coursera
人工势场非常直观，且对运算量要求不高，可以跟机器人的控制相结合。实验室的师兄们曾在中型组足球机器人比赛中使用过这个方法。
当然，势场法的一个问题就是没办法避开局部极小值问题，所以该方法是不完备的，同时也是非最优化的。
====图搜索介绍分割线====
另外有一大类算法则是先将运动规划问题转换成图（graph），之后利用各种图搜索算法解决问题。这里简单介绍一下图搜索算法。
图是图论（GraphTheory）里的一个概念，它表示一类用若干离散节点（vertices、node、points）与连接节点的边线（edges，lines，arcs）表示的拓扑结构。
△著名的邮差问题就可以转化成一个图论问题
对于在一个图上寻找到一条最短路径的问题，图论中已经有很多方法了，其中在规划领域最著名的两个分别是Dijkstra算法和A*算法。
△Dijkstra和A*算法伪代码
上图给出了两种算法伪代码，按照这个说明基本可以自己写出两种算法了。下面动图则是我利用Dijkstra和A*算法做的效果演示动画。因为A*算法加入了启发函数，用于引导其搜索方向，所以大部分情况下A*算法会比Dijkstra算法规划速度快不少。
△Dijkstra和A*算法演示
====图搜索介绍分割线====
要将图搜索算法用在运动规划里，就必须想办法将规划问题转换成图。
VisibilityGraph可视图法
可视图法用封闭多面体描述障碍物；并将连接所有多面体的所有顶点，去除与障碍物相交的连线；之后将起始点与目标点与所有顶点连接，并去除与障碍物相交的连线。由此可得到一个图。
△可视图
之所以叫做可视图，大概可以这样理解：站在某个顶点上，环绕四周，把你能看到（无障碍物）的顶点连接起来。可以证明，该方法完备且最优。
空间离散法
空间离散法就更简单了，按照某一尺寸划分网格，包含障碍物的网格认为不可通过，这样便得到一个网格图，之后按照四连通或八连通的方法得到一个图。
显然如果网格尺寸太大的话，可能会造成连通路径堵塞，因此该方法是分辨率完备（ResolutionComplete）且最优的。
△空间离散法示意图
这个算法在即时战略游戏里面用得非常多，虽然我不知道红警是不是这样实现的，但我知道开源红警OpenRA（openra.net）是采用的空间离散+A*算法（github上有源码）。
△开源红警OpenRAve截图，出处见水印
随机路图法PRM
随机路图（ProbabilisticRoadMaps，PRM）就是在规划空间内随机选取N个节点，之后连接各节点，并去除与障碍物接触的连线，由此得到一个随机路图。
显然，当采样点太少，或者分布不合理时，PRM算法是不完备的，但是随着采用点的增加，也可以达到完备。所以PRM是概率完备且不最优的。
△PRM算法示意图
除了上述方法外，还有很多其他构建搜索图的方法，如Voronoi图法、CellDe鍖椾含娌荤枟鐧界櫆椋庢渶濂?鏃╂湡鐧界櫆椋庢�庝箞娌绘剤